【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中...

问题详情：

【问题情境】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图①，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是       ．

A．SSS           B．SAS           C．AAS           D．HL

（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是       ．

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求*的结论集中到同一个三角形之中．

【初步运用】

如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求线段BF的长．

【灵活运用】

如图③，在△ABC中， ∠A＝90°，D为BC中点， DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并*你的结论．

【回答】

解：【问题提出】

（1）B．································ 3分

（2）2＜AD＜10．···························· 6分

【初步运用】

如图①，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM．

∵AD是△ABC中线，

∴BD＝DC．

又∵∠ADC＝∠MDB，

∴△ADC≌△MDB．

∴BM＝AC，∠CAD＝∠M．························ 8分

∵AE＝EF，

∴∠CAD＝∠AFE．

∵∠AFE＝∠BFD，

∴∠BFD＝∠CAD＝∠M．

∴BF＝BM＝AC＝3＋2＝5．······················· 10分

【灵活运用】

猜想：BE2＋CF2＝EF2·························· 11分

理由：如图②，延长FD至G，使得DG＝DF，连接BG、EG，则△FDC≌△GDB．

∴CF＝BG，∠FCD＝∠GBD．

∵DF＝DG，DE⊥DF，

∴EF＝EG．······························ 12分

在△ABC中，∵∠A＝90°，

∴∠EBC＋∠FCB＝90°．

∴∠EBC＋∠GBD＝90°，即∠EBG＝90°．················ 13分

∴在Rt△EBG中，BE2＋BG2＝EG2．

∴BE2＋CF2＝EF2．

知识点：三角形全等的判定

题型：解答题