问题情境:小明和小颖在吃*淇淋时,对其所用的一次*纸杯(如图1)产生了兴趣,决定对制做这种纸杯的相关问题进行研...
问题详情:
问题情境:
小明和小颖在吃*淇淋时,对其所用的一次*纸杯(如图1)产生了兴趣,决定对制做这种纸杯的相关问题进行研究,他们发现纸杯是圆台形状(即一个大圆锥截去一个小圆锥后余一的部分,如图2),并测得杯口直径AB=8cm,杯底直径CD=6cm,杯壁母线长AC=BD=6cm,说明:整个探究过程中均忽略纸杯的接接部分和纸杯的厚度.
数学理解:
(1)为进一步探究问题的本质,小颖画出纸杯的侧面展开的大致图形,如图3,得到的图形是圆环的一部分,那么,图3中的长为 cm,的长为 cm.
(2)小明认为,要想准确画出纸杯的侧面展开图,需要确定图3中和所在圆的半径OE,OF的长以及圆心角∠BOE的度数,小颖根据弧长的计算公式猜想得到=,请你*这个结论,并根据这个结论,求所在圆的半径OF及它所对的圆心角∠BOE的度数.
问题解决:
(3)明确了纸杯侧面展开图的有关数据和图形的*质后,他们继续探究将原材料截前成纸杯侧面的方案,并给出了方案,将原材料剪成矩形纸片,再按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面,其中,扇形OBE的与矩形GHMN的边GH相切于点P,点P是的中点,点B,E,F,D均在矩形的边上,请直接写出矩形纸片的长和宽.
【回答】
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)立体平面图形转化中,可见的长即为杯口圆的周长,而的长即为杯底圆的周长.由已知杯口直径AB=8cm,杯底直径CD=6cm,结论易得.
(2)求*=,一般我们都考虑分别用OE,OF表示出的长和的长,然后相除后再找其与的关系.
求OF,题中已提示利用上述公式.因为(1)我们已知等式的左边,右边OE可否用OF表示呢?观察图已知,OE=OF+杯壁母线长,又杯壁母线长AC=BD=6cm,所以结果易得.
(3)求矩形纸片的长与宽,直接考虑都在扇形外,所以可以考虑转化到扇形中,由P为圆的切点,一般连接圆心与切点,如是连接OP,连接BE,记两线交于Q,记OP与MN交于点R.此时BE即为矩形的长,PR即为矩形的宽,其中又由圆心角为60°,易得△OBE为等边三角形,则BE可求.同时△ROF为含30°角的直角三角形,边长易得,进而PR易得.
【解答】解:
(1)8π,6π.
(2)*:设与所对的圆心角为n°.
∴的长==,的长==,
∴==.
∵OE=OF+6,的长=8π,的长=6π,
∴=,
解得,OF=18,
∴OE=OF+6=18+6=24.
∵的长==6π,OF=18,
∴n=60.
所以,所在圆的半径OF等于18cm,它所对的圆心角的度数为60°.
(3)
答:矩形纸片的长GH=24cm,宽GN=cm.
分析如下:
在图4中,连接OP,连接BE,两线交于Q,OP与MN交于点R.此时由图形对称可知,PO⊥BE,PO⊥NM,
∵OB=OE,∠BOE=60°,
∴△BOE为等边三角形,则BE=OE=24,
∴矩形纸片的长GH=24cm.
∵∠BOE=60°,
∴∠FOR=30°,
在Rt△FOR中,
∵OF=18,
∴RF=9,
∴OR=9,
∴PR=OP﹣OR=24﹣9,
∴矩形纸片的宽GN=cm.
知识点:弧长和扇形面积
题型:解答题